Materi Matematika Kelas X SMA - Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk

       Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk

Defenisi : 

Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal yang dirangkai dengan kata hubung logika.

Bentuk pernyataan majemuk, kata perangkai, dan notasi yang digunakan:

1.  Konjungsi, kata perangkai “Dan” dengan notasi ˄.

2.  Disjungsi, kata perangkai “Atau” dengan notasi  ˅.

3.  Implikasi, kata perangkai “Jika” dan “Maka” dengan notasi ⇒.

4.  Biimplikasi, kata perangkai “Serta”, “Jika dan hanya jika” dengan notasi ⇔.

1.        Konjungsi

Defenisi :

Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “dan”.

Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan dengan p ˄ q (dibaca p dan q).

Tabel Kebenaran

p	q	p ˄ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

          Contoh :

1)       Susunlah konjungsi dari pernyataan p dan q berikut!

(a)       p :  Ibu bangun pagi.

        q :  Ibu memasak di dapur.

(b)       p :  Sapi adalah hewan pemakan rumput.

        q :  Komodo merupakan hewan langka.

Jawab :

a.    Ibu bangun pagi dan memasak di dapur.

b.    Sapi adalah hewan pemakan rumput dan Komodo merupakan hewan langka.

2)       Tentukan nilai kebenaran dari setiap konjungsi berikut!

(a)   - 4 adalah bilangan bulat dan 4 adalah bilangan prima.

Jawab :

p : -4 adalah bilangan bulat

q : 4 adalah bilangan prima

τ(p) = B dan τ(q) = S, maka τ(p ˄ q) = S

 (b)  Balok mempunyai 8 sisi dan jumlah rusuk pada kubus ada 12.

Jawab :

p :  Balok mempunyai 8 sisi.

q :  Jumlah rusuk pada kubus ada 12.

τ(p) = S dan τ(q) = B, maka τ(p ˄ q) = S

     

3)       Diketahui :

 p : SMAN 2 Sungai Penuh terletak di jl. Depati Parbo

 q : Semua siswa SMAN 2 Sungai Penuh nakal

Nyatakan pernyataan majemuk berikut dalam bentuk logika matematika!

(a)  SMAN 2 Sungai Penuh terletak di jl. Depati Parbo dan semua siswa SMAN 2 Sungai Penuh nakal.

(b)  Tidak benar SMAN 2 Sungai Penuh terletak di jl. Depati Parbo dan semua siswa SMAN 2 Sungai Penuh nakal.

(c)  SMAN 2 Sungai Penuh terletak di jl. Depati Parbo dan semua siswa SMAN 2 Sungai Penuh tidak nakal.

(d)  SMAN 2 Sungai Penuh tidak terletak di jl. Depati Parbo dan semua siswa SMAN 2 Sungai Penuh tidak nakal.

Jawab :

            (a)        p ˄ q

(b)    ~p ˄ q

            (c)        p ˄ ~q

(d)   ~p ˄ ~q

4)     Jika diketahui pernyataan p bernilai benar sedangkan pernyataan q dan r bernilai salah, tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!

            (a)       ~p ˄ (q ˄ ~r)

(b)    (p ˄ ~q) ˄ r

(c)    (~p ˄ ~q) ˄ (q ˄ ~r)

(d)   (~p ˄ q) ˄ (~q ˄ r)

Jawab :

(a)     S ˄ (S ˄ B) = S ˄ S = S

(b)    (B ˄ B) ˄ S = B ˄ S = S

(c)      (S ˄ B) ˄ (S ˄ B) = S ˄ S = S

(d)     (S ˄ S) ˄ (B ˄ S) = S ˄ S = S

 

2.    Disjungsi

Defenisi :

Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “atau”.

Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan dengan : p ˅ q (dibaca p atau q).

Tabel Kebenaran

p	q	p ˅ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

         Contoh :

1)   Diketahui : 

       p :  Semua siswa kelas X SMAN 2 Sungai Penuh rajin.

       q :  Siswa kelas X SMAN 2 Sungai Penuh sering datang terlambat.

Nyatakan bentuk logika berikut dalam kalimat!

(a)    p ˅ q

(b)  ~p ˅ q

(c)    p ˅ ~q

(d)  ~p ˅ ~q

        Jawab :

(a)   p ˅ q

       Semua siswa kelas X SMAN 2 Sungai Penuh rajin atau siswa kelas X SMAN 2 Sungai Penuh sering datang terlambat.

(b)   ~p ˅ q

       Tidak benar semua siswa kelas X SMAN 2 Sungai Penuh rajin atau siswa kelas X SMAN 2 Sungai Penuh sering datang terlambat.

(c)    p ˅ ~q

       Semua siswa kelas X SMAN 2 Sungai Penuh rajin atau tidak benar siswa kelas X SMAN 2 Sungai Penuh sering datang terlambat.

(d)   ~p ˅ ~q

       Tidak benar bahwa semua siswa kelas X SMAN 2 Sungai Penuh rajin atau tidak benar siswa kelas X SMAN 2 Sungai Penuh sering datang terlambat.

2)   Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut!

       Rumus  luas  persegi p anjang  adalah  panjang x  lebar  atau 7  adalah  bilangan 

       genap.

       Jawab :

       p :  Rumus  luas  persegi panjang  adalah  panjang x  lebar.

       q :  7 adalah bilangan genap.

       t(p) = B dan t(q) = S, maka t(p ˅ q) = B

3)    Lengkapi tabel kebenaran berikut!

p	q	~p	~q	~p ˅ q	p ˅ ~q	~p ˅ ~q
B	B
B	S
S	B
S	S

       Jawab :

p	q	~p	~q	~p ˅ q	p ˅ ~q	~p ˅ ~q
B	B	S	S	B	B	S
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B

3.   Implikasi

Defenisi :

Implikasi atau pernyataan bersyarat adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka q.

Implikasi dari pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan dengan : p ⇒ q (dibaca jika p maka q).

Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat.

Tabel Kebenaran

p	q	p ⇒ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

         Contoh :

1)        Diketahui  p :  Hujan turun dengan deras.

                                   q :  Sepanjang ruas jalan tergenang air.

Tuliskan pernyataan majemuk dari dua pernyataan di atas yang diwakili oleh lambang berikut!

(a)    p ⇒ q

(b)   ~ p ⇒ q

(c)   p ⇒ ~ q   

(d)   ~ p ⇒ ~ q

(e)   ~ q ⇒ ~ p

(f)    q ⇒ p 

       Jawab :

(a)      p ⇒ q

Jika hujan turun dengan deras, maka sepanjang ruas jalan tergenang air.

(b)      ~ p ⇒ q

Jika hujan tidak turun dengan deras, maka sepanjang ruas jalan tergenang air.

(c)      p ⇒ ~ q   

Jika hujan turun dengan deras, maka sepanjang ruas jalan tidak tergenang air.

(d)     ~ p ⇒ ~ q

Jika hujan tidak turun dengan deras, maka sepanjang ruas jalan tidak tergenang air.

(e)      ~ q ⇒ ~ p

Jika sepanjang ruas jalan tidak tergenang air, maka hujan tidak turun dengan deras.

(f)   q ⇒ p 

Jika sepanjang ruas jalan tergenang air, maka hujan turun dengan deras.

2)   Tentukan nilai kebenaran dari setiap implikasi berikut!

(a) Jika katak merupakan hewan amfibi, maka harimau merupakan hewan herbivora.

Jawab :

p :  Katak merupakan hewan amfibi.

       q :  Harimau merupakan hewan herbivora.

t(p) = B dan t(q) = S, maka t(p ⇒ q) = S

(a)     Jika log 5 + log 15 = log 20, maka log 15 – log 5 = log 3.

Jawab :

p :  log 5 + log 15 = log 20.

q :  log 15 – log 5 = log 3.

t(p) = S dan t(q) = B, maka t(p ⇒ q) = B

3)  Jika p benar, q salah dan r salah. Tentukan nilai kebenaran dari bentuk-bentuk logika berikut!

(a)    p ⇒ q

(b)    p ⇒ r

(c)    (p ˄ q) ⇒ r

(d)    (~p ˄ q) ⇒ r

(e)    (p ⇒ q) ˄ (q ⇒ r)

(f)    (p ⇒ q) ˄ (p ⇒ r)

(g)    (p ˅ ~q) ⇒ r

(h)    P ⇒ (~q ⇒ r)

(i)    (~q ⇒ q) ˅ r

Jawab :

(a)    B ⇒ S = S

(b)    B ⇒ S = S

(c)    (B ˄ S) ⇒ S = S ⇒ S = B

(d)    (S ˄ S) ⇒ S = S ⇒ S = B

(e)    (B ⇒ S) ˄ (S ⇒ S) = S ˄ B = S

(f)    (B ⇒ S) ˄ (B ⇒ S) = S ˄ S = S

(g)    (B ˅ B) ⇒ S = B ⇒ S = S

(h)    B ⇒ (B ⇒ S) = B ⇒ S = S

(i)    (B ⇒ S) ˅ S = S ˅ S = S

4.   Biimplikasi

Defenisi :

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”.

Biimplikasi dari pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan dengan : p ⇔ q (p jika dan hanya jika q).

Tabel Kebenaran

p	q	p ⇔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

         Contoh :

        1)  Diketahui 

(a)   p :  Meli bermain volyball.

              q :  Titin bersepeda.

(b)  p :  Hari ini libur sekolah.   

              q :  Siswa tamasya ke Bali.

Nyatakan bentuk logika berikut dalam kalimat!

1.   p ⇔ q

2.   q ⇔ p

3.   p ⇔ ~q

4.  ~p ⇔ ~q

Jawab :

  (a)  1.   p ⇔ q

                     Meli bermain volyball jika dan hanya jika Titin bersepeda.

  2.  q ⇔ p 

                     Titin bersepeda jika dan hanya jika Meli bermain volyball.

                3.   p ⇔ ~q

                     Meli bermain volyball jika dan hanya jika Titin tidak bersepeda.

                       4.   ~p ⇔ ~q

                      Meli tidak bermain volyball jika dan hanya jika Titin tidak bersepeda.

(b)  1.  p ⇔ q

                     Hari ini libur sekolah jika dan hanya jika siswa tamasya ke Bali.

                2.  q ⇔ p

                     Siswa tamasya ke Bali jika dan hanya jika hari ini libur sekolah.

                3.  p ⇔ ~q

                     Hari ini libur sekolah jika dan hanya jika siswa tidak tamasya ke Bali.

                4.  ~p ⇔ ~q

                     Hari ini tidak libur sekolah jika dan hanya jika siswa tidak tamasya ke Bali.

2)   Tentukan nilai kebenaran dari setiap biimplikasi berikut!

         ²log 9 = 81 Jika dan hanya jika 7² = 48

Jawab :

p : ²log 9 = 81

q : 7² = 48

τ(p) = B dan τ(q) = S, maka τ(p ⇔ q) = S

          

3)   Lengkapi tabel kebenaran berikut!

p	q	~p	~q	~p ⇔ q	p ⇔ ~q	~p ⇔ ~q
B	B
B	S
S	B
S	S

Jawab :

p	q	~p	~q	~p ⇔ q	p ⇔ ~q	~p ⇔ ~q
B	B	S	S	S	S	B
B	S	S	B	B	B	S
S	B	B	S	B	B	S
S	S	B	B	S	S	B

4)   Jika  p  benar,  q  salah dan r salah.  Tentukan nilai kebenaran dari bentuk-bentuk logika berikut!

(a)   p ⇔ q

(b)   p ⇔ r

(c)   (p ˄ q) ⇔ r

Jawab :

(a)   B ⇔ S = S

(b)   B ⇔ S = S

(c)   (B ˄ S) ⇔ S = S ⇔ S = B